Blog of everything: Agustus 2012

Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan yang mempunyai bentuk umum:

$ax^2 + bx + c = 0$ , dengan $a \neq 0, a, b, c \in R$

$a$ merupakan koefisien dari $x^2$ , $b$ merupakan koefisien dari $x$ , sedangkan $c$ merupakan konstanta.

Mencari penyelesaian persamaan kuadrat berarti mencari suatu nilai $x$ sedemikian sehingga jika nilai $x$ tesebut disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut akan bernilai benar. Penyelesaian persamaan kuadrat itu juga disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat.

Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan atau mencari akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

1. Dengan Memfaktorkan

Bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ (Untuk $a = 1$ )
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, maka:
$x^2 + bx + c = 0$
$\Leftrightarrow x^2 + (m + n)x + m \times n = 0$ , dengan $m \times n = c$ dan $m + n = b$
$\Leftrightarrow (x + m)(x + n) = 0$
$(x + m) = 0$ atau $(x + n)=0$

Bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ (Untuk $a \neq 1$ )
$ax^2 + bx + c = 0$
$\Leftrightarrow ax^2 + px + qx + c = 0$ dengan $p \times q = a \times c, p + q = b$
contoh:
$3x^2 + 14x + 15 = 0$
$\Leftrightarrow 3x^2 + 5x + 9x + 15 = 0$
$\Leftrightarrow x(3x + 5) + 3(3x + 5) = 0$
$\Leftrightarrow (x + 3)(3x + 5) = 0$
$x + 3 = 0$ atau $3x + 5 = 0$
$x = -3$ $x = -\frac{5}{3}$

Bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ (Untuk $a \neq 1$ )
$ax^2 + bx + c = 0$
$\Leftrightarrow \frac {1}{a}(ax + m)(ax + n) = 0$ , dengan $m \times n = a \times c, m + n = b$
contoh:
$3x^2 + 14x + 15 = 0$
$\Leftrightarrow \frac {1}{3} (3x + 9)(3x + 5) = 0$
$\Leftrightarrow \frac {1}{3} \times 3(x + 3)(3x + 5) = 0$
$\Leftrightarrow (x + 3)(3x + 5) = 0$
$x + 3 = 0$ atau $3x + 5 = 0$
$x = 3$ $x = -\frac{5}{3}$

2. Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna, maka langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

- Usahakan agar koefisien dari $x^2$ sama dengan 1, atau $a = 1$
- Pindahkan konstanta $c$ ke ruas kanan
- Tambahkan kedua ruas dengan $(\frac {1}{2} \cdot b)^2$
- Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna

Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - 4x - 5 = 0$ dengan cara melengkapkan kuadrat.

$2x^2 - x - 1 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x - \frac {1}{2} = 0$
$\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x = \frac {1}{2}$
$\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x + [\frac {1}{2} \cdot (-\frac {1}{2})]^2 = \frac {1}{2} + [\frac {1}{2} \cdot (-\frac {1}{2})]^2$
$\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2} + \frac {1}{16} = \frac {1}{2} + \frac {1}{16}$
$\Leftrightarrow (x - \frac {1}{4})^2 = \frac {9}{16}$
$\Leftrightarrow (x - \frac {1}{4}) = \pm \sqrt {\frac {9}{16}}$
$\Leftrightarrow (x - \frac {1}{4}) = \pm\frac {3}{4}$
$\Leftrightarrow x_{1,2} = \frac {1}{4} \pm \frac {3}{4}$
$x_1 = \frac {1}{4} + \frac {3}{4}$ atau $x_2 = \frac {1}{4} - \frac {3}{4}$
$x_1 = 1$ $x_2 = -\frac{1}{2}$

3. Dengan Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus kuadratis maka dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

$ax^2 + bx + c = 0$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Untuk melihat pembuktian cara mencari rumus kuadratis tersebut, silakan baca postingan cara mencari rumus abc persamaan kuadrat.

Untuk contoh menyelesaikan soal persamaan kuadrat bisa dilihat di sini.

Sabtu, 11 Agustus 2012

Persamaan Kuadrat

1. Dengan Memfaktorkan

2. Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

3. Dengan Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

Mengenai Saya